F-test

f분포(F-distribution 또는 Snedecor's F-distribution 또는 Fisher–Snedecor distribution)는 통계학에서 사용하는 연속 확률 분포(continuous probability distribution)로 분산 분석에 많이 사용한다.

독립적인 두 카이제곱분포에 관한 비로써 정의된다. 자유도는 분자에 해당하는 카이제곱분포의 자유도와 분모에 해당하는 카이제곱분포의 자유도에 의해 결정된다. 분산 비 검정, 분산 분석, 회귀 분석 등에 사용한다.

F-분포로 하는 검정(test)을 F-검정(F-test)이라고 한다.

$U_1\sim {\chi }_{v_1}^2,U_2\sim {\chi }_{v_2}^2$이고 $U_1$과 $U_2$가 독립일 때 f분포를 다음과 같이 정의한다.


$v_1$은 $U_1$(분자)의 자유도이고, $v_2$는 $U_2$(분모)의 자유도이다.

한편, $F_{v_1,v_2,\alpha }$는 $X\sim F_{v_1,v_2}$에 대하여 $P[X\ge a]=\alpha$가 되도록 하는 $a$의 값을 일컫는다.

분산비검정(variance ratio test)이란 다음과 같이 두 분산을 비교할 때 사용하는 방법이다.

두 카이제곱분포 $U_1=\frac{(n_1-1){s_1}^2}{{{\sigma }_1}^2}\sim {\chi }_{n_1-1}^2$과 $U_1=\frac{(n_2-1){s_1}^2}{{{\sigma }_2}^2}\sim {\chi }_{n_2-1}^2$에 대하여

분모와 분자의 자유도가 서로 바뀌어 있는 두 $F$분포에 대하여 다음과 같은 중요한 성질이 성립한다.

[증명]

두 $F$분포 $X\sim F_{v_1,v_2}$이고 $Y=\frac{1}{X}\sim F_{v_2,v_1}$이 있을 때

$\begin{array}{rl}P\left[X\ge F_{v_1,v_2,\alpha }\right]& =\alpha \\ P\left[Y\ge F_{v_2,v_1,1-\alpha }\right]& =1-\alpha \end{array}$

두 번째 식을 변형하면

P​Y1​≤Fv2​,v1​,1−α​1​​→P​Y1​≥Fv2​,v1​,1−α​1​​​=1−α=α​

빨간색 식끼리는 값이 $\alpha$로 같으면서, $Y=\frac{1}{X}$이므로 결국 다음 양변이 같을 수밖에 없다.

$F_{v_1,v_2,\alpha }=\frac{1}{F_{v_2,v_1,1-\alpha }}$

또한, $\mathbf{t}$분포를 제곱하면 분자와 분모의 자유도가 각각 1, $\mathbf{v}$인 $\mathbf{F}$분포가 된다.

매개변수: 자유도 d₁ > 0, d₂ > 0