LIM

$x$가 한없이 $a$에 가까워질 때 $f\left(x\right)$가 한없이 $L$에 가까워지면, $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$

0이 아닌 임의의 무한소 $ϵ$[5]에 대하여

1. $\mathrm{st}(f^{\ast }(c+ϵ))=L$을 만족하는 실수 $L$이 존재하면, $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$이다.
2. $f^{\ast }(c+ϵ)$가 양의 무한대이면, $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\infty$이다.
3. $f^{\ast }(c+ϵ)$가 음의 무한대이면, $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=-\infty$이다.

임의의 양의 무한대 $H$에 대하여

1. $\mathrm{st}(f^{\ast }(H))=L$을 만족하는 실수 $L$이 존재하면, $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=L$이다.
2. $f^{\ast }(H)$가 양의 무한대이면, $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty$이다.
3. $f^{\ast }(H)$가 음의 무한대이면, $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=-\infty$이다.

임의의 음의 무한대 $H$에 대하여

1. $\mathrm{st}(f^{\ast }(H))=L$을 만족하는 실수 $L$이 존재하면, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=L$이다.
2. $f^{\ast }(H)$가 양의 무한대이면, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\infty$이다.
3. $f^{\ast }(H)$가 음의 무한대이면, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$이다.

확장원리와 전달원리에 의하여 $x$가 초유리수이면 $f^{\ast }(x)=1$, $x$가 초무리수이면 $f^{\ast }(x)=0$이다. 자연수 $n$이 주어지면, 무리수의 조밀성에 의해, $r<q<r+\frac{1}{n}$을 만족하는 무리수 $q$가 존재한다. 따라서, 전달원리에 의해 무한 초자연수 $N$에 대하여, $r<q^{\ast }<r+\frac{1}{N}$을 만족하는 초무리수 $q^{\ast }$가 존재하는데, $\frac{1}{N}$은 0이 아닌 무한소이고, $\mathrm{st}\left(f^{\ast }\left(r+\frac{1}{N}\right)\right)=1$, $\mathrm{st}(f^{\ast }(q^{\ast }))=0$이므로 $x\to r$일 때, $f(x)$는 발산한다.

$a$가 $X$의 극한점들의 집합 $\Omega$의 원소이고 $Y$는 하우스도르프 공간(Hausdorff space)[6]일 때 $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=L$이라고 함은 $L$의 임의의 근방(neighbourhood) $V$에 대하여 $a$의 빠진 근방(punctured neighbourhood) $U$가 존재하여 $f\left(U\cap \Omega \right)\subseteq V$가 성립하는 것이다.

• 수렴: 한 점으로 모인다는 뜻. 보통 의견 수렴이라든지 여론 수렴 등등으로 해서 한 점에 모인다는 의미로 사용하는 경우가 많은데, 이 뜻을 수학으로 빌려와서 여러 값이 기어코야 한 값으로 모이게 되었다는 의미로 사용한다. 즉 $x$가 $a$에 한없이 가까워지거나 한없이 커지거나 작아지면 $f\left(x\right)$도 어디로 한없이 가까워진다는 뜻.

• 발산[7]: 수렴하지 않으면 발산한다고 한다. 즉, 어느 한 점으로도 모이지 않는다는 뜻. 함수값이 무한히 커지면, 양의 무한대로 발산, 함수값이 음수로서 그 절댓값이 무한히 커지면 음의 무한대로 발산이라 한다.

  $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty$ , $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$

• $\left\{\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)={\alpha }^{\prime }\right\}⟺\left({\alpha }^{\prime }=\alpha \right)$[9]
• $\underset{x\to a}{\lim }k=k$
• $\underset{x\to a}{\lim }\left\{kf\left(x\right)\right\}=k\left\{\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)\right\}=k\alpha$
• $\underset{x\to a}{\lim }\left\{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\}=\left\{\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)\right\}\pm \left\{\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)\right\}=\alpha \pm \beta$
• $\underset{x\to a}{\lim }\left\{f\left(x\right)g\left(x\right)\right\}=\left\{\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)\right\}\left\{\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)\right\}=\alpha \beta$
• $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)}=\frac{\alpha }{\beta }\left(\beta \ne 0\right)$

함수 $f,g,h$가 $x\ne c$인 점 $c$를 포함하는 열린구간에 있는 모든 $x$에 대하여 $g\left(x\right)\le f\left(x\right)\le h\left(x\right)$이고 $\underset{x\to c}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to c}{\lim }h\left(x\right)=L$이면, $\underset{x\to c}{\lim }f\left(x\right)=L$이다.

• 알다시피 $\cos \left(\frac{1}{x}\right)$은 $1$보다 작고 진동한다. 그렇다면 $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2\cos \left(\frac{1}{x}\right)$의 극한값을 구해 보자.
• 모든 $x(\ne 0)$에 대하여 $-1\le \cos \left(\frac{1}{x}\right)\le 1$이다. 또한 $x^2$을 모든 식에 곱하여도 부등호의 변화가 없으므로 $-x^2\le x^2\cos \left(\frac{1}{x}\right)\le x^2$이다. $\underset{x\to 0}{\lim }-x^2=0=\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2$이므로 조임 정리에 의해 $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2\cos \left(\frac{1}{x}\right)=0$이다.