0

1. 개요2. 수학적 특징

2.1. 정수로서의 0

3. 역사4. 컴퓨터 과학에서5. 문화에서의 모습6. 교통

6.1. 버스6.2. 철도

7. 스포츠8. 군사9. 여담

1. 개요[편집]

-1보다 크고 1보다 작은 정수. 없음(無)을 나타내는 수로 인도에서 이 숫자의 개념을 발견/발명하였다고 하며, 정수 또는 유리수 또는 실수 중에서 양수도 아니고 음수도 아닌 유일한 수다. 과거에는 무한소를 나타내는 표기로도 쓰였다.

2. 수학적 특징[편집]

2.1. 정수로서의 0[편집]

수로서의

0

은 사칙연산에 대한 여러 가지 특수성을 지니고 있다.

덧셈: $0$ 에 어떤 수를 더하거나 어떤 수에 $0$ 을 더하면 어떤 수 자신이 나온다.(덧셈의 항등원)
뺄셈: $0$ 에서 어떤 수를 빼면 부호가 바뀌어서 나오고 어떤 수에서 $0$ 을 빼면 어떤 수 자신이 나온다.
곱셈: 어떤 수에 $0$ 을 곱하면 무조건 $0$ 이 되어 버린다.[1]또한 곱해서 $0$ 이 나오면 곱한 수 중 하나 이상은 $0$ 이다.
나눗셈: $0$ 을 $0$ 이 아닌 수로 나누면 $0$ 이다. 나눗셈의 수학적 정의는 '역수를 곱하는 것'이다. 여기서 역수는 곱셈에 대한 역원, 즉 어떤 수와 곱해서 $1$ 이 되는 수로 정의한다. $0$ 과 곱해서 $1$ 이 되는 수는 없으므로, $0$ 으로 나누기는 생각하지 않는다.

곱셈에서 말한 '곱해서

0

이 나오면 곱한 수 중 하나 이상은

0

이다'라는 성질은, 얼핏 생각하면 단순해 보이지만 매우 중요한 성질이다. 만약 이 성질이 없다면 방정식을 푸는 것이 불가능한데,

(x - a) (x - b) \dots\dots (x - c) = 0

등으로 아무리 깔끔하게 인수분해를 했어도 각각의 인수가

0

이라는 보장이 없기 때문. 실제로 수가 아니라 행렬에서의 방정식을 생각한다면, 이 성질이 성립하지 않기 때문에 이렇게 방정식을 풀 수 없다.[2]

나눗셈에 대해 다른 방식으로 생각해보면, 나눗셈

x = b \div a

는 일차방정식

a x = b

를 푸는 것이라 생각할 수 있다. 여기서 만약

a = 0

이라면,

$b \neq = 0$ 이라면 $0 \times x = b \neq = 0$ 이 되는데 이건 불가능하다. 따라서 $x$ 를 만족하는 값, 즉 $\frac{b}{0}$ 의 값은 없다.(불능)
$b = 0$ 이라면, $0 \times x = 0$ 은 어떤 $x$ 에 대해서도 성립한다. 따라서 $x$ 를 만족하는 값, 즉 $\frac{0}{0}$ 의 값은 무엇이 되든 상관없으며 정할 수가 없다.(부정)[3]

위와 같이 경우에 따라 서로 다른 결론이 얻어지기 때문에

0

으로 나누는 것은 정의되지 않는다.

0

의 또 다른 특수성은 '

0

번째' 혹은 '

0

개'에 대한 논의에서 온다.

0

개의 수를 더하면

0

이지만,

0

개의 수를 곱하면

1

이다! 정확히 말하자면 시그마에서 더할 항이 없는 경우에

i = 1 \sum 0 a_{i} = 0

이라 쓰는 것[4]처럼

i = 1 \prod 0 a_{i} = 1

로 정의하는 것.[5] 이걸로

a^{0} = 1

[6]이나

0! = 1

들의 정의를 좀 더 정당화할 수 있다. 비슷하게 경우의 수, 특히 순열과 조합에서는

_{n} P_{0} =_{n} C_{0} = 1

이다. 이는 공집합의 원소의 개수는

0

이지만, "공집합을 원소로 갖는 집합"의 원소의 개수는

1

이기 때문.[7][8] 비슷하게

0^{0}

을 조합론에서는 보통

0^{0} = 1

로 정의한다.[9] 양수

x

에 대해

x \to 0 lim x^{x} = 1

이기도 하고 앞서 말한 조합적인 접근도 그렇고

0^{0} = 1

로 보면 여러모로 편해지는 부분이 있다. 그러나 이렇게 약속할 수 있는 범위는 한정되어있으며 일반적으로 성립하는 게 아니다. 앞선 해석학 방식의 접근 역시 일변수함수에서나 성립하며,

(x, y) \to (0, 0) lim x^{y}

처럼 이변수함수로 확장하면 얄짤없이 극한값은 존재하지 않는다는 결론이 나온다.[10]

0^{0}

문서 참조. 물론 이런 얘기들은 20세기 이전에는 상상도 못 할 금기였고 당장 이 내용을 처음 보는 사람들도 충분히 거부감을 느낄 수도 있겠지만,

0

번째부터 순서를 세는 것은 조심해서 잘만 쓴다면 생각보다 편한 경우가 많다. 자연수에 많은 사람들이

0

을 포함시키는 것(범자연수)도 이런 맥락에서 볼 수 있다.

또한 양수도 음수도 아닌 '제 3의 부호'를 갖고 있는 수이기도 하다. 이를 가장 단적으로 보여 주는 것이 다름 아닌 부호 함수인데, 양수에서부터든 음수에서부터든 어느 쪽으로 극한을 취해도 절대로 0이 될 수 없다.

가장 작은 대칭수이며, 다음 대칭수는 1이다.

첫 번째 뮌하우젠 수이다.

완전순열의 첫 번째 항이다.

0의 각 자리의 합계는 0인데, 0은 0의 제곱근이다. 이런 특징의 수는 0, 1, 81밖에 없다.

확률론에서, 0은 확률의 최솟값이다. 확률이 0인 사건은 절대 일어나지 않는다.

3. 역사[편집]

수로서의 $0$ : ‘아무 것도 없음’ 혹은 ‘원점’의 개념
$0$ 을 “발견” 혹은 “발명”했다는 것이 어찌 보면 매우 이상하게 여겨질 수도 있으나, 수학의 역사에서 $0$ 은 꽤나 나중에 등장한 개념이었다. 고대 그리스 수학자들은 어떻게 없는 것이 '무언가'가 될 수 있지? 하면서 $0$ 의 존재를 부정했다. 수를 표기할 때 $1$ 은 $I$ , $2$ 는 $II$ , $3$ 은 $III$ , $4$ 는 $IV \dots\dots$ 이런 식으로 나가는 로마 숫자 체계에서도 $0$ 은 없었다. ‘아무것도 없음’이라는 개념은 있었지만, 이를 수로 생각하지는 않았다.
보통 인도에서 $0$ 이 7~8세기 정도에 발명되었다고 하는 이야기는, 이들이 $0$ 을 사용해 사칙연산을 처음 하였다는 이유에서이다. 단, $0$ 에 대한 이해가 완벽한 것은 아니었기 때문에 $\frac{0}{0} = 0$ 같은 잘못된 수식을 사용하곤 하였고, $0$ 으로 나누기를 정의하지 않는다는 것은 근대에 와서야 겨우 이루어졌다. 지금도 $0$ 의 개념은 교육과정에서 아이들에게 이해시키기에 어려운 개념 중 하나이고, ‘ $0$ 이 짝수인지’[11] 등의 문제는 현대인들도 가끔 혼동하는 개념이다. 하지만 $0$ 의 개념이 정확하게 정립되면서, 수학은 획기적인 진보를 이뤄낼 수 있었다. 이는 $0$ 이 음수를 생각하는 데에 핵심인 개념이기 때문이며, 따라서 방정식을 풀고 하는 등의 모든 조작[12]을 가능하게 하기 때문이다.

숫자로서의 $0$ : 위치 기수법
또한 $0$ 의 “발견”이 그토록 획기적인 이유는 바로 $0$ 없이는 위치 기수법(positional notation)[13]을 상상할 수조차 없기 때문이다. 예를 들어서 $1001$ 이라는 숫자를 썼다고 했을 때, 맨 앞도 $1$ 이고 맨 뒤도 $1$ 인데 어떻게 하나는 천이라는 큰 값을, 하나는 일이라는 작은 값을 나타내는가? 이는 앞의 $1$ 은 ‘천의 자리’에, 뒤의 $1$ 은 ‘일의 자리’에 놓여 있기 때문이다. 즉, 숫자가 쓰인 자리(위치)에 따라 수를 나타내는[14] 이러한 방식을 위치 기수법이라 한다.
위 $1001$ 의 예에서, 백의 자리와 십의 자리의 두 개의 $0$ 은 그 자리를 지킴으로써(placeholder), 맨 앞의 숫자 $1$ 이 천의 자리에 놓여 있음을 표시해 주고, 따라서 그 $1$ 이 숫자 천을 나타내게 해 준다. 만일 $0$ 이 없었다면 $11$ (공백 $2$ 개), $11$ (공백 $1$ 개), $11$ 을 어떻게 구별할 수 있겠는가? 이처럼 $0$ 이 없으면 위치 기수법은 상상할 수 조차 없다.
$0$ 이 있어 위치 기수법이 있을 수 있었고, 위치 기수법이 있어서 우리는 숫자를 $0$ 부터 $9$ 까지 $10$ 개의 자릿수(digits)만 배우면 이론상으로는 유한 개의 숫자만으로 얼마든지 큰 수를 나타낼 수 있다. $0$ 이 없으면 한자, 이집트 숫자, 로마 숫자와 같이 $10$ , $100$ , $1000$ 등에 해당하는 숫자를 따로따로 배워야 했을 것이다. 이런 문화권에서는 숫자가 커질 때마다 다른 기호를 계속 만들어 내야만 하는 문제가 있었고[15], 큰 수를 표기하는 데 꽤 큰 장애가 되었다. 이는 도량형에서도 마찬가지였는데, SI 단위가 나오기 전까지는 같은 차원임에도 크기에 따라 다른 단위를 사용해야 했다. SI 단위에서는 차원과 단위를 1:1 대응시키고[16] 크기는 SI 접두어를 붙여주는 것으로 해결한다. 여기서 SI 접두어가 위치 기수법에 대응된다.
단, 위치 기수법은 유한 개의 숫자만으로 큰 수를 쉽게 나타낼 수 있는 가능성을 열었을 뿐, 실제로 매우 큰 수를 나타낼 때는 자릿수만큼 자리를 많이 차지하는 문제가 있다. 큰 수를 잘 다루려면 지수의 발명이, 그보다 압도적으로 큰 수를 표현하기 위해서는 4차(테트레이션) 혹은 그 이상의 연산이 필요하다. 아르키메데스는 그리스 숫자 같은 복잡한 기수법 하에서도 지수를 이용한 큰 수 표기법을 창안해 낸 바 있다.

4. 컴퓨터 과학에서[편집]

C언어를 비롯한 많은 프로그래밍 언어에서 배열의 첨자(index)는

0

부터 시작한다. 포트란 혹은 코볼(COBOL)등의 초기의 언어는 역사적 관습을 따라

1

부터 숫자를 셌지만,

0

부터 세는 관습이 더 편리하기 때문. 예를 들어 C언어에서 배열 a[]의 i번째 원소의 주소(즉 &(a[i]))는 a+i로 매우 간단하게 주어지는데, 이는

0

부터 수를 세기 때문에 가능한 것이다. 물론 시작 첨자를 따로 지정하는 방법으로

1

부터 시작하도록 할 수도 있다.

컴퓨터의 Null이라는 개념은

0

과 구분되어야 한다. 개념적으로는

0

은 숫자로 정의되었는데 내용이 없는 것, Null은 숫자인지 글인지 근본조차 없는 것이다. 하얀 배경에 투명한 공과 하얀 공을 올려놓으면 똑같아 보이지만 전혀 다르다는 정도로 생각하면 된다. 좀 더 쉽게 설명하자면, 아래 그림과 같이 0은 화장실 휴지걸이에 휴지 없이 휴지심만 걸려 있는 상태지만, null은 휴지심도 걸려 있지 않은 상태다. 단, 어원 상으로는 독일어 Null이 0을 의미한다.

계산기나 컴퓨터에

0

으로 나누기를 억지로 시키면 에러가 난다. 그 이유는 계산기, 즉 컴퓨터가 하는 나눗셈은 단순하게 말하자면 계속 빼기를 해서 피제수가 $0$ 이 될 때까지 몇 번 뺐나를 결과로 내는 것이기 때문이다. 예를 들어

\frac{12}{0}

을 계산한다 치면

12 - 0 = 12

,

12 - 0 = 12 \dots\dots

으로 무한히 빼기를 하다가 컴퓨터가 과부하로 고장나게 된다.[17] 그래서 아예 하드웨어 수준에서 막는다(interrupt).[18] 윈도우 계산기를 열고

0

으로 나누어 보면 "

0

으로 나눌 수 없습니다"라는 오류 메시지가 뜨는 것을 볼 수 있다. 이러한 인터럽트를 처리하지 않은 기계적 계산기에서는 고장날 때까지 돌아가는 계산기가 되기도 한다. 어떤 계산기는 결과가

\infty

로 나오는데,

x - 0

계산을

0

이 나올 때까지 무한 번 반복하기 때문에 결과값이

\infty

로 출력되는 것이다.

5. 문화에서의 모습[편집]

한국어에서

0

은 "영"으로도 읽고 "공"으로도 읽는다. 둘 다 한자어로, 전자는 零, 후자는 空이다. 한국인들이야 살면서 자연스레 어떤 상황에서 어떤 읽기 방식을 쓰는지 배우지만, 외국어로서의 한국어를 배우는 외국인들에게는 꽤나 복잡한 영역이다. 숫자를 기입할 때에는 "영"으로 읽는 일이 많고[19], 수학의 소수, 분수 등의 숫자를 읽을 때에도 "영"으로 읽으며[20], '

0

번' 역시 "영 번"으로 읽는다. 하지만 전화번호나 번호판 등을 읽을 때에는 "공"으로 읽는다. 심지어 속어로는 "빵"이라고도 읽는다. 사실상 영역에 따라 별 다른 규칙 없이 정해지는 것에 가깝기 때문에 외국인 입장에서는 분야별로

0

을 어찌 읽는지 외우는 게 가장 낫다. 중국어의

1

을 원래는 yī라 읽지만 전화번호 읽을 때는 yāo로 읽는 것도 비슷하다.

중국어에서는 3자리 이상의 수에서 빈 자리가 중간에 있는 경우, 말할 때 꼭

0

을 강조해서 말해야 한다. 예를 들어서 305는 三百零五이며, 만약 三百五라고하면 하면 3과 5가 연속된 자리에 있는 350을 뜻하게 된다. ~~350은 왜 三百五十이라고 안하지~~ 빈 자리가 있는 만큼 0을 넣으므로 30405는 三萬零四百零五인데, 다만 빈 자리들이 이웃해있으면 그 구간은 零을 하나만 넣는다. 예를 들면 30005는 三萬零零零五가 아니라 그낭 三萬零五이다. 일상 생활에서는 복잡한 零 대신 〇이란 한자를 쓴다. 측천문자의 하나로, 문자 이름은 "영 영"이다. 0을 나타내는 한자 중에서 가장 단순한 글자.

0

은 아랍어로는 '씨푸르'라고 발음하는데 '암호'라는 뜻의 영어단어인 cipher의 어원이 여기이며, 또 불어로 숫자는 chiffre(시프르)이다. 보다 정확히는 아랍어 '씨푸르' صفر가 라틴어 cifra와 이탈리아어 zero의 어원이 되며, 처음에는 '숫자' 또는 '

0

'이라 쓰인 나중에야 cipher가 '암호'라는 뜻을 얻게 된 것. 이슬람-이전 시기의 아랍어 '씨푸르' صفر는 원래는 '비었다(空, empty)'는 뜻이었다. '씨푸르'의 의미는 인도의 'śūnya(산스크리트: शून्य)'를 번역하면서 '숫자

0

'의 뜻으로 발전했다. 참고로 영어에서는 'zero'가 1598년부터 확인된다.

대중문화에서 제로 또는 사이퍼라는 이름을 달고 나온 것은

0

의 이미지와 어느 정도 연관이 있다. 다만 제로의 경우에는 심하게 남용되어서 '간지나는 이름' 이상의 무언가가 있다고 보기는 힘들다.

0

이라는 숫자는 '기원', '절대적 존재', '아무것도 없음' 등을 종종 상징한다.

ABO식 혈액형도 베타, 알파 항체를 모두 가지고 있고 B항원 (B형이 가진 항원), A항원 (A형이 가진 항원) 이 없는 것을 기존에는 3번째 혈액형이어서 C형이라고 명칭을 했으나

0

, null, 없다라는 뜻에서

0

와 형태가 유사한 O형으로 이름이 바뀌었다.

보통

1

이라는 숫자도 태초 또는 시작을 의미하지만,

0

은 이 '

1

보다 더욱 근본적인 기원'을 의미하게 된다. 프로토타입의 버전이나 프리퀄의 넘버링 등에 쓰이는 용례. 또는 '모든 것을 넘어서는 절대적인 존재' 로서의 의미도 가능하다. 가장 자주 쓰이는 용례가 '

0

순위'. 지금은 클리셰가 되어버렸지만, 마치 블리치 등에서 당한 놈들을 능가하는 최강의 랭크

0

번이 존재했다. 하는 식으로 등장하는 경우와 같다. 때로는 '아무것도 없음'의 부정적 의미를 전달하기도 한다.

보다 자세한 것은 제로와 사이퍼의 문서를 참고하자.

6. 교통[편집]

6.1. 버스[편집]

시내버스 노선 중에서 0번을 쓰는 노선은 주로 경상북도에 있으며 안동시의 안동 0번 버스와 청도군의 청도군 농어촌 버스 0번이 대표적이다. 그 외에도 경일교통의 0번 버스는 250번으로 노선이 분리되어 번호 자체가 소멸되었던 것으로 보인다. [21] 그 외의 지역에선 대부분 운행이 끝나서 운행노선을 끄고 퇴근하는 버스에서 볼 수있다.

6.2. 철도[편집]

수도권 전철에서는 한때 90년대 후반에 있었던 역번호 개편 이전 대화역이 역번호 0번을 가진 적이 있다. 서울 지하철 3호선 개통 당시 구파발역이 출발역이었고 역 번호는 10이었다. 노선 확장을 위해 1~9번을 비워뒀는데, 이후 지축-구파발 구간이 연장되면서 지축역이 9번을 가져갔다. 그 후 일산선이 별도의 노선이 아닌 3호선 직결로 결정되면서 9개의 역이 더 생겼다. 그러다 보니 맨 끝의 대화역이 0번이 된 것. 그러다 2000년에 역 번호를 개편하면서 310번이 되어 0번 역은 없어졌다. 이후 2014년 중간에 원흥역이 추가되면서 309번으로 한 자리 밀렸다.

일부 해외 철도에서는 0번 승강장을 보유한 역들이 존재한다.

히로시마 전철에는 0번 노선이 존재한다. 차량기지로 입고하는 열차가 0번을 다는데, 공차회송을 하지 않고 차량기지 근처에 있는 히로덴혼샤마에역까지 여객 영업을 한다. 그 외에 이벤트 형식으로 운행하는 열차도 0번을 단다.

7. 스포츠[편집]

프로 스포츠에서는 야구, 농구에서만 0, 00번을 등번호로 사용할 수 있다. 한때는 아이스하키에서도 가능했지만 현재는 불가능하다.
KBO 리그에서는 0번의 김강민, 00번의 김경기가 대표적인 예시라 할 수 있다.
미국프로농구에서는 클리블랜드 캐벌리어스의 케빈 러브, 휴스턴 로케츠의 러셀 웨스트브룩이 0번을 사용하고, 포틀랜드 트레일 블레이저스의 카멜로 앤써니가 00번을 사용하며 같은팀의 데미안 릴라드는 0번이다. 규정상 0번과 00번은 심판의 수신호 문제로 인해 동시에 사용할수 없는데 이 둘이 같이 사용한걸 생각하면 언제인가 수정된듯 하다.
미국 프로야구인 메이저리그에서는 뉴욕 양키스의 애덤 오타비노가 0번을 사용한다.

우리나라에 농구 KBL의 하승진이 대표적인 0번이고, WKBL에서도 전설로 꼽히는 전주원의 0번이 인천 신한은행 에스버드의 영구결번이다.

참고로 00번 선수를 콜할때는 더블 제로(Double zero)라고 콜한다.

8. 군사[편집]

일본군의 전투기: 0식 함상전투기

9. 여담[편집]

서양에서는 0에 선이 그어져 있거나(∅), 안에 점이나 선 등이 들어가 있는(Θ)[22] 것 등을 볼 수 있는데, 이는 라틴 문자의 O(오)와 유사하게 생겨 혼동하는 것을 막기 위한 것이다.[23][24] 키보드나 DOS용 프로그램 등에도 이렇게 되어 있는 경우가 있다. 옛날 컴퓨터에서 글씨 크기를 충분히 작게 해서 0을 쳐 봤을 때, 한 번쯤 본 적이 있을 것이다. 프로그래밍용으로 많이 쓰는 폰트의 고정폭의 경우 0이 이렇게 처리되어 있는 것을 볼 수 있다. 미국, 유럽에서 자국 판매용으로 나가는 키보드의 경우를 보면 0에 사선을 그어서 ∅로 표기하고 있는 경우가 대다수이다. 동아시아에서는 0에 대한 구분이 잘 되는 경우가 많아 ∅로 표기하지 않는 것일 뿐이다. 한국에서는 은행용 숫자 키보드를 보면 ∅ 표기를 볼 수 있다. 은행 창구에서 사용하는 숫자 키보드는 한국 국내에서 유통되는 중국산이 아니라 대부분 미국산을 직수입하여 사용하기 때문이다. 2020년 지금은 중국산 키보드도 늘어나서 0으로 표기된 곳도 늘어나는 추세라는 게 문제지만.

대국민 토크쇼 안녕하세요에서 0이라는 숫자를 이름으로 가진 사람의 사연이 소개된 적이 있다. 이0 문서 참조.

대학에는 0학점짜리 과목들도 소수 있다.[25]

오스트리아의 작곡가, 안톤 브루크너의 교향곡 중에서는 00번(-1번), 0번이 존재한다. 이렇게 쓰이는 이유는 교향곡 1번이 쓰이고 먼저 출판된 이후에 출판된 두 곡이기 때문이다. 이중 00번은 주변 반응부터 브루크너의 마음에도 들지 않았는지 이전 악보를 찾아서 곡에 자주 인용하는 브루크너조차도 이곡만큼은 "습작"이라고 적어놓고 보관해놓았다고... 파가니니의 바이올린 협주곡 중에서도 6번까지 먼저 다 알려진 후에 뒤늦게 알려진 첫 바이올린 협주곡이 0번이 붙었다. 반면 쇼팽의 피아노 협주곡 2번도 1번보다 먼저 쓰이고 뒤늦게 출판되었지만 따로 0번으로 분류되진 않았다.

VOCALOID 오리지널 곡은 0(VOCALOID 오리지널 곡) 문서 참조

애니메이션에서는 때때로 본격적인 스토리 전개에 앞서 프롤로그 및 과거 설명을 위해 의도적으로 0화를 배치하는 경우가 있다.

1순위라는 말로도 모자라 더 강조하고 싶을 때 0순위라는 말을 쓴다.

0은 어떤 진법에서도 0으로 표현된다. 이는 1도 마찬가지라고 할 수 있지만, 2진법이 아니라 1진법으로 가게 되면 1조차도 쓰지 않게 된다.[26]

[1] 그렇기 때문에 '전화기에 있는 숫자를 모두 곱하면?', '전 세계의 사람들의 머리카락 수를 곱하면?~~탈모인이 저주할지도 모른다~~' , '12지신의 다리 수를 전부 곱하면?', '

(n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4) \dots\dots {n - (n - 1)} (n - n)

의 값은?' 같은 수수께끼들의 답은

0

이다. ~~스타 사대천왕의 케스파 리그 우승 횟수를 모두 곱하면?~~

[2] 인수분해가 유일하게 이뤄질 수 있다는 보장을 내릴 수 있는건 0을 제외한 복소수체계가 유일인수분해정역(Unique Factorization Domain; UFD)이기 때문이다. 행렬이 지닌 수적 구조는 행렬환인데, 행렬환은 정역(Domain)부터 아니고, 그렇기 때문에 UFD가 아니라서 유일하게 인수분해할 수 없다. 다만, 정사각행렬에서 행렬식이 0이 아닌 행렬만을 모아놓은 환은 정역이면서 여러가지 연산구조가 추가로 생겨서 인수분해의 유일성이 보장되기 때문에 유일인수분해정역이다. 다만 그렇다고 하더라도 인수분해는 유일하지만 인수에 해당하는 행렬의 유일성을 보장할 수 없기 때문에 결국 이런 방식으로는 해를 구할 수 없다.

[3] 옳지않다는 뜻의 不正이 아니라 정할 수 없다는 뜻의 不定이다. 부정방정식이나 to부정사의 그것.

[4] 이 약속은 점화식을 통해 재귀적으로 유도되는 성질로

s_{m} = i = 1 \sum m a_{i} (m \in N)

라고 놓으면 점화식

s_{m} = a_{m} + s_{m - 1}

이 자연수인 모든

m

에 대해 성립하기 위해서는

s_{1} = i = 1 \sum 1 a_{i} = a_{1}

이므로

s_{0} = 0

이어야 한다. 이를 일반화 시키면

i = α \sum α - 1 a_{i} = 0

이 되는데 두 부분합을

i = a \sum b f (i) + i = b + 1 \sum c f (i) = i = a \sum c f (i)

과 같이 통합해서 나타낼 수 있다는 성질에 따라

i = β \sum α a_{i} = 0 (α < β)

라는 일반화된 성질이 얻어지며, 이를 '공(空)합(empty sum)'이라고 한다.

[5] 합의 경우와 동일하게 점화식을 이용하는 것으로 증명된다.

p_{m} = i = 1 \prod m a_{i} (m \in N)

라 놓으면

p_{m} = a_{m} \cdot p_{m - 1}

이 되고 이 점화식이 모든 자연수

m

에 대해 성립하기 위해서는

p_{1} = i = 1 \prod 1 a_{i} = a_{1}

에서

p_{0} = 1

이어야 한다. 마찬가지로

i = α \prod α - 1 a_{i} = 1

로 일반화되는데 두 부분곱을

i = a \prod b f (i) i = b + 1 \prod c f (i) = i = a \prod c f (i)

로 통합해서 나타낼 수 있으므로

i = β \prod α a_{i} = 1 (α < β)

라는 일반화된 성질이 유도된다. '공합'과 비슷하게 이를 '공곱(empty product)'이라고 한다.

[6] 단 일반적으로는

a \neq = 0

[7] 이를 풀어쓰면 다음과 같다. 원소가

n

개인 집합

S

의

r

-조합은

S_{r} = {X \subset A : ∣ X ∣ = r}

의 원소의 개수

∣ S_{r} ∣

로 생각할 수 있다. 만약 여기서

r = 0

이라면

S_{r}

은 공집합이 아니라, 공집합을 원소로 갖는 집합

{\emptyset}

이다. 이 집합의 원소의 개수는

0

이 아니라

1

이고, 따라서

_{n} C_{0} = 1

이라 자연스럽게 말할 수 있는 것. 순열의 경우에도 비슷하게 생각할 수 있다.

[8] 앞의 두 성질은 고등학교 수준에서 팩토리얼을 이용하여 정의되는 순열과 조합

_{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!}

,

_{n} C_{r} = \frac{_{n} P _{r}}{r !} = \frac{n !}{r ! ( n - r ) !}

만으로도 충분하게 유도할 수 있다.

[9]

n^{m}

은

{1, 2, \dots\dots, m}

에서

{1, 2, \dots\dots, n}

으로 가는 함수의 개수로 생각할 수 있다. 공집합에서 공집합으로 가는 함수는 단 하나 존재한다!

[10] 부정인

\frac{0}{0}

과는 양상이 조금 다르다.

\frac{0}{0}

은 집합론 방식으로 표현하면 정의역 집합 그 자체가 되는 반면,

0^{0}

은 존재하지 않는다이기 때문.

[11] 짝수이다. 짝수의 정의는

2

로 나눈 나머지가

0

인 수인데

0 \div 2 = 0 \dots 0

또는

\frac{0}{2} = 0 + 0

에서 몫이

0

나머지가

0

이기 때문이다.

[12] 이항이라든지, 인수분해라든지, 기타 등등……

[13]

10

진법과는 무관하다.

20

진법을 썼던 마야 문명에서도

0

을 이용한 위치 기수법을 이용했었다.

[14] ‘앞의 숫자’와 ‘뒤의 숫자’는 다른 의미로 쓰였다. 뒤의 ‘숫자’는 후술할 ‘자릿수’ 개념이다.

[15] 위치 기수법을 사용하지 않는 한자 숫자의 경우, 一, 二, …… , 九, 뿐만 아니라 十, 白, 千, 萬(또는 万), 億, 兆, ……처럼 큰 숫자를 상징하는 기호를 계속 만들어내야 했다. 다만 남송 시대에 이르러서야 진구소(秦九韶)의 <수학구장>(數學九章, 1247)에 처음으로

0

을 〇으로 나타내는 위치 기수법이 등장했다.

[16] 섭씨, 전자볼트 같은 예외는 있긴 하다.

[17] 물론 실제 대부분의 프로세서는 이런 식으로 나눗셈을 계산하지는 않는다. 숫자가 커지면 너무 오래 걸리기 때문. 그래서 좀 더 빠르게 계산하기 위한 여러 알고리즘이 개발되어 있다. 하지만

0

으로 나누기를 시도할 경우 그런 알고리즘들도 무한루프에 빠지거나 에러를 내뿜는다는 점은 같다.

[18] interrupt 막다, 방해하다, 간섭하다. 참고로

0

으로 나누는 연산 시 발생하는 zero-devide 인터럽트 외에도 다양한 인터럽트가 존재한다.

[19] 예: 아무것도 없으면

0

(영)을 써 넣으십시오.

[20] 따라서 '

0

' 이 자체를 단독으로 읽을 때에도 "영"이라고 한다.

[21] 경일교통의 0번은 왜관버스 시절부터 계속 사용되었던 것으로 보인다.

[22] 본 문서에서는 예시로써 비슷한 글자를 쓴 것으로 실제 해당 문자는 그리스 문자인 세타이다. 이 외에 비슷하게 생긴 그리스 문자 파이(Φ)도 존재한다.

[23] 이 혼동으로 인해 발생한 관련 사례로, 역학 조사 단계에서 발생한 환자를 가리키는 의학 용어인 patient zero가 있다. 이는 미국에서 후천성 면역 결핍 증후군의 원인이 되는 인간면역결핍 바이러스의 전파자로 오인된 Gaëtan Dugas라는 인물을 미국질병통제예방센터 측이 캘리포니아 지역 외부(outside California)의 환자를 의미하는 표현인 "patient O"로 기록한 부분에서 라틴 문자 O를 숫자 0(영)으로 오인하여 비롯된 것이다.

[24] 다만 ∅는 덴마크어, 페로어, 노르웨이어의 Ø와 헷갈릴 수 있고, 0 안에 수직선/수평선이 그어진 모습은 그리스어의 Θ나 Φ와 헷갈릴 수 있다.

[25] 동국대학교의 Basic EAS가 대표적.

[26] 0을 쓰지 않고 1을 반복하는 경우도 존재한다.