1729

1728보다 크고 1730보다 작은 자연수. 합성수로, 소인수분해하면 7×13×19이다. 약수는 1, 7, 13, 19, 91, 133, 247, 1729로 총 8개이며, 이들의 합은 2238(<3458=2×1729)이다. 따라서 1729는 부족수다.

$1729=12^3+1^3=10^3+9^3$
1729는 서로 다른 세제곱수 두 개의 합으로 나타내는 방법이 두 가지인 가장 작은 수이다.

정확히 이런 대화를 나눈 것은 아니다. 다만, 대충 이런 뉘앙스의 대화였을 거라 추측될 뿐이다.

1918년 입원중이던 라마누잔을 하디가 문병왔을 때, 타고온 택시의 번호가 1729라며 아무 특색이 없는 수라고 말하자 즉석에서 "아니오. 매우 흥미로운 숫자입니다. 서로 다른 세제곱수 2개의 합으로 나타내는 방법이 두 가지인 가장 작은 수거든요"라고 말한 적이 있다. 실제로 1729=1000(10의 3제곱)+729(9의 3제곱)=1(1의 3제곱)+1728(12의 3제곱)으로 나타낼 수 있으며 이는 이렇게 나타낼 수 있는 자연수 중 가장 작은 수이다.

참고로 하디는 1729 = 13 × 133이기 때문에 13이 중복해서 나오는 불길한 수라고 생각했다는 이야기도 있다.

이와 같은 수들을 하디-라마누잔 수 또는 택시 수(taxicab number)라고 부르게 되었다. 이는 1이상의 자연수에서만 고려한다.

택시수의 다른 예제로는 4104, 13832 등이 있다.
$4104=2^3+16^3=9^3+15^3$
$13832=2^3+24^3=18^3+20^3$

참고로 13832 = 1729*8 이다. 즉 $13832=(2\cdot 12{)}^3+(2\cdot 1{)}^3=(2\cdot 10{)}^3+(2\cdot 9{)}^3$가 된다. 일반화 시키면, 어떤 수 n 이 택시 수 라면, 그 수에 임의의 세제곱수 $2^3=8,3^3=27,4^3=64,...$ 을 곱한 수도 모두 택시수이다.

3가지 이상의 세제곱의 합으로 표현되는 수도 있으며, 더 많은 방법으로 표현되는 수들도 존재한다.
$87539319=167^3+436^3=228^3+423^3=255^3+414^3$

정수까지 범위를 확장하면 이는 cabtaxi number 라고 한다.
$91=3^3+4^3=6^3+(-5{)}^3$

이 수는 페르마의 소정리의 반례가 되는 수인 '카마이클 수'이기도 하다. 페르마의 소정리 문서 참고.